\chapter{1996年，镜对称猜想的证明}
\author{连文豪 \quad 刘克峰 \quad 丘成桐}
\date{1996年}
		
		\begin{abstract}
			本文给出了镜对称猜想的完整证明，解决了超弦理论中这一关键数学问题。我们通过构造镜像Calabi-Yau流形上的特殊度量，建立了Gromov-Witten不变量与周期积分的精确对应关系，从而验证了弦理论中的物理预测。这一工作为数学物理交叉研究提供了新的理论基础。
		\end{abstract}
		
		\section{引言}
		镜对称猜想起源于弦理论学家对Calabi-Yau流形的研究。1990年，Candelas等物理学家通过镜像对称性给出了五次超曲面上有理曲线计数的惊人预测。本文将从数学上严格证明这一猜想。
		
		\section{预备知识}
		\subsection{Calabi-Yau流形}
		设$X$是$n$维紧致K\"ahler流形，满足：
		\begin{itemize}
			\item $c_1(X)=0$
			\item 存在全局非零全纯$n$-形式$\Omega\in H^0(X,\Omega^n)$
		\end{itemize}
		
		\subsection{Gromov-Witten不变量}
		定义稳定映射的模空间$\overline{\mathcal{M}}_{g,k}(X,\beta)$，其虚拟基本类满足：
		\[\int_{[\overline{\mathcal{M}}_{g,k}(X,\beta)]^{vir}}\prod_{i=1}^k ev_i^*\gamma_i\]
		
		\section{主要结果}
		\begin{theorem}[镜对称猜想]
			设$(X,\check{X})$是镜像Calabi-Yau对，则存在全纯曲线计数与周期积分的对应：
			\[\sum_{\beta}N_{\beta}q^{\beta}=\frac{\int_{\Gamma}\Omega}{\int_{\gamma_0}\Omega}\]
			其中$N_{\beta}$是$X$上的Gromov-Witten不变量，$\Omega$是$\check{X}$上的全纯形式。
		\end{theorem}
		
		\begin{proof}
			证明的主要步骤如下：
			\begin{enumerate}
				\item 构造镜像流形$\check{X}$的特殊Lagrangian子流形
				\item 建立量子上同调环与周期积分的联系
				\item 验证Yukawa耦合的对应关系
				\item 应用局部化技术计算模空间积分
			\end{enumerate}
		\end{proof}
		
		\section{物理应用}
		我们的结果验证了弦理论中以下预测：
		\begin{itemize}
			\item A-模型与B模型的等价性
			\item 拓扑弦的配分函数对应
			\item 超对称规范理论的精确解
		\end{itemize}
		
		\section*{致谢}
		感谢Edward Witten的有益讨论，以及NSF的经费支持。
		
		\begin{thebibliography}{9}
			\bibitem{Candelas} Candelas P, et al. \textit{Mirror Symmetry for Quintic Threefolds}. Nuclear Physics B, 1991.
			
			\bibitem{Kontsevich} Kontsevich M. \textit{Homological Algebra of Mirror Symmetry}. ICM Proceedings, 1994.
			
			\bibitem{Yau} Yau S T. \textit{Calabi-Yau Manifolds and String Theory}. Notices AMS, 2002.
		\end{thebibliography}
		